EJERCICIOS CON CONJUNTOS
1. Sean U =
{a, b, c, d, e}, A = {a, b, d} y B =
{b, d, e}.
Hallar:
(a)
A È B (b) B Ç A (c)
B' (d) B – A, (e)
A' Ç B
(f)
A È B' (g) A' Ç B' (h) B' - A' (i) (A Ç B') (j) (A È B').
Solución:
(a) La unión de A y B consta de los elementos de
A y los elementos de B, es decir, A È B = {a, b, d, e}.
(b) La intersección de A y B consta de los
elementos que son comunes a A y B, es decir, A Ç B = {b,
d}.
(c) El complemento de B consta de las letras que
están en U pero no en B; así que B' =
{a, c}.
(d)
El conjunto B - A está formado por los elementos de B que no están en A, esto
es, B - A = {e}.
(e)
A' = {c, e} y B= {b, d, e}; así que A' Ç B = {e}
(f) A = {a, b, d} y B' = {a, c}; así que A È B' = {a,
b, c, d}.
(g)
A' = {c, e} y B' = {a, c}; entonces A' Ç B' = {c}.
(h)
B' - A' = {a}.
(i)
Según (b), A Ç
B = (b, d}; luego (A Ç B)' = {a,c,e}.
(j)
Según (a), A È
B = {a, b, d, e}; luego (A È B) ‘ = {c}.
2. En
el diagrama de Venn
que sigue, rayar (1) A Ç
(B È C), (2) (A Ç
B) È (A Ç C),
(3) A È (B Ç
C), (4) (A È B) Ç
(A È C).
 |
Solución:
(1) Primero rayar A
con trazos inclinados a la derecha y rayar B È C con
trazos inclinados a la izquierda; entonces A Ç (B È C) es el
área con doble rayado.
A y B È C aparecen
rayados A Ç (B È C) lo
rayado
(2)
Primero rayar A Ç
B con trazos inclinados a la derecha y A Ç C con
trazos inclinados a la izquierda; entonces (A Ç B) È (A Ç C) resulta
ser el área total rayada como se muestra enseguida.
A Ç
B y A Ç
C lo rayado (A
Ç B) È
(A Ç B) lo rayado
Nótese que A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
(3) Primero se raya, A con trazos inclinados a la
derecha y se raya B Ç C con trazos inclinados a la
izquierda: así resulta ser A È (B Ç C) el área
total rayada.
A y B Ç
C lo rayado A
È (B È
C) lo rayado
(1)
Primero se raya A È B con
trazos inclinados a la derecha y se raya A È C con trazos inclinados a la izquierda; (A È B) Ç (A È C) es el
área con doble rayado.
A È B y A È C lo
rayado (A È B) Ç (A È C) lo
rayado.
Nótese
que A È
(B Ç C) = (A È B) Ç (A È C).
3. Demostrar:
B- A es un subconjunto de A’.
Solución:
Sea x perteneciente
a B- A. Entonces x Î B y x Ï A: por
tanto, x es elemento de A’. Como x Ï B - A implica x Î A’. B - A es subconjunto de A’.
4. Demostrar:
B - A’ = B Ç A.
Solución:
B - A’ = {x | x Î B, x Î A’} = {
x|x Î B, x Î A} = B Ç A.
PROBLEMAS
PROPUESTOS
1. Sea el
conjunto universal U = {a, b, c, d, e, f, g}
Y sean A
= {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e, g} y C = {b, e, f, g}.
Hallar:
(1) A È C
(3) C – B (5) A' – B (7) (A – C)' (9) (A - B')'
(2) B Ç A
(4) B' (6) B'
È C
(8) C' Ç
A
(10) (A Ç A')'
2. En
los diagramas de Venn que siguen,
rayar:
(1) V Ç W, (2) W', (3) W - V
(4) V' È W, (5) V Ç W’, (6) V’ - W’.
 |
 |
(a)
(b)
3. Hacer un
diagrama de Venn con tres conjuntos no vacíos A, B y C de modo que A, B y C
tengan las siguientes características:
(1)
A Ì B, C Ì B, A Ç C = Æ (3) A Ì C, A ¹ C, B Ç C = Æ
(2)
A Ì B, C Ë B, A
Ç C ¹ Æ (4) A Ì (B Ç C), B Ì C, C ¹ B, A ¹ C
4. Determinar:
(1)
U Ç A (3) Æ' (5) A' Ç
A (7) U È
A (9) A Ç
A
(2)
A È A (4) Æ
È A (6) U’ (8)
A' È
A (10) Æ
Ç A.
RESPUESTAS
A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
(1) U (3) {b, f} (5)
{f} (7) C = {b, e, f, g} (9) {b,
d, f, g}
(2){a, c, e} (4) {b,
d, f} (6) {b, d, f, e, g} (8) {a, c, d} (10) U
2.
(a) (1) (3) (5)
V Ç
W lo rayado W – V lo
rayado V Ç
W’ lo rayado
(2) (4) (6)  |
 |
W' lo rayado
V' È
W lo rayado V' - W' lo rayado
(b) (1) (3) (5)
 |
 |
 |
V
Ç W lo rayado W - V lo rayado V Ç
W' lo rayado
(2) (4) (6)
 |
|||||
 |
 |
||||
W' lo rayado V' È
W lo rayado V' - W' lo rayado
3. (1) (3)
 |
 |
(2) (4)
 |
 |
4. (1) A
(2) A (3) U (4) A
(5) Æ (6) Æ (7) U
(8) U (9) A (10) Æ
EJERCICIOS RESUELTOS
1.-
Una encuesta aplicada a un grupo de jóvenes, acerca de las preferencias por
alguna radio F.M. de la región, señaló
que:
277 preferían Carolina
233 preferían Manquehue
405 preferían Tiempo
165 preferían Manquehue y Tiempo
120 preferían Manquehue y Carolina
190 preferían Carolina y Tiempo
105 preferían las tres estaciones de radio mencionadas
Determine:
¿Cuántos jóvenes fueron encuestados?
¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina?
¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina y Tiempo?
Solución:
Solo C= 277-120+105-190+105-105 Solo M=
233-120+105-105-165+105
Solo C= 72 jóvenes Solo
M= 53 jóvenes
Solo C y M= 120-105= 15
Jóvenes Solo
C y T= 190-105= 85 jóvenes
Solo M y T= 165-105= 60
jóvenes
Sólo T= 405-190+105-165+105-105= 545 jóvenes
Total jóvenes encuestados= 72+53+15+85+60+155+105= 545
jóveses
Fueron encuestados 545 jóvenes
Sólo Carolina prefieren 72 jóvenes
Solo Carolina y Tiempo prefieren 85 jóvenes
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Una
encuesta realizada a 2000 hombres reveló
lo siguiente respecto a sus gustos por
distintos tipos de mujeres:
800
preferían las rubias;
950
preferían las morenas;
750
preferían las colorinas;
150
preferían las rubias y morenas;
300
preferían las morenas y colorinas
250
preferían las rubias y colorinas
200 Sólo
morenas y colorinas
Determine el
número de hombres que:
a. Preferían
los tres tipos de mujeres encuestados.
b. No
preferían estos tipos de mujeres.
2. En una reunión
se determina que 40 personas son aficionadas al juego, 39 son aficionadas
al vino y 48 a las fiestas, además hay
10 personas que son aficionadas al vino, juego y fiestas, existen 9 personas
aficionadas al juego y vino solamente, hay 11 personas que son aficionadas al
juego solamente y por último nueve a las fiestas y el vino.
Determinar:
a) El número de
personas que es aficionada al vino solamente.
b) El número de
personas que es aficionada a las fiestas solamente
3. En una encuesta
realizada a 320 alumnos de Ingeniería Comercial de la Universidad de
Valparaíso, se descubrió que estos prefieren tres lugares para sus “carretes”
de fin de semana:
95 prefieren ir al
“Kamikaze”;
90 prefieren ir al “Playa”;
120 prefieren ir al “Bar de
los Cuatro Vientos”;
30 prefieren ir al
“Kamikaze” y al “Playa”
10 prefieren ir al
“Kamikaze” y al “Bar de los Cuatro Vientos”
40 prefieren ir al “Playa”
solamente
60 prefieren ir al
“Kamikaze” solamente
Determine el número de
estudiantes que prefieren:
a) Sólo ir al “Bar
de los Cuatro Vientos”
b) Ir a los tres
lugares
c) No salir y
quedarse estudiando el fin de semana
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Sean A, B, C conjuntos no
vacíos. Respecto del siguiente diagrama de Venn.
La
región sombreada corresponde a:
a)
(A ∩ B) - C d) (A - B) ∩ C
b)
(A ∩ B) - A e) (B - A) ∪ C
c) (A ∪ B) – C
2.- Sea el conjunto
referencial Re y los conjuntos no
vacíos A, B y C definidos así:
Re = {*, !, #, $, %, &, ?}
A = {*, !, #, $}
B = {!, %, &, ?}
C = {%, &, ?}
Entonces
el conjunto [(A - B) C ∪ C] C es:
a)
Re b) ∅ c)
{%, &, ?} d)
{!} e) A - B
3.-
Sean A, B y C tres conjuntos no
vacíos de un referencial Re. Represente en un diagrama
de Venn las siguientes operaciones:
a) A ∪ B ∪ CC b) B - (A∪C) c) (A ∩ B) C ∩ C
4.- Sean A, B, C subconjuntos del
referencial Re,
tales que:
Re = {a, Δ, ?, f, δ, +, , e, θ, α, *};
A ∩ B ={a, δ, f };
A - B ={θ, , e};
A ∩ C = C ∩ B ={ f };
C - (A ∩ B ∩ C) = {+};
B - (A ∪ C) = {*, ?, Δ};
(A ∪ B ∪ C)C = {α};
Halle
los elementos de A,
B y
C.
4. Si Re = {i, Δ, a, □, ∅, o, *, ∇},
A y B son conjuntos no vacíos,
tales que:
A ∪ B = {i, Δ, a, □, ∅},
A ∩ B = {a}
B - A = {□, ∅}
Entonces
es verdad que:
a)
A - B = {o, *, ∇} d) A = {i, Δ, ∇, o}
b)
B = {*, ∇, □, ∅} e)
A ∩ (A - B) = {o, i, Δ}
c)
(A - B) ∩ (A ∪ B) = {i, Δ}
5. En un concurso de cocineros
en el que se preparan tres comidas criollas: guatita, seco de chivo y
chugchucaras, se obtuvieron los siguientes resultados:
* 2% de cocineros fracasó en las tres comidas.
* 6% de cocineros fracasó en guatita y seco de chivo.
* 5% de cocineros fracasó en seco de chivo y chugchucaras.
* 8% de cocineros fracasó en guatita y chugchucaras.
* 29% de cocineros fracasó en guatita.
* 32% de cocineros fracasó en seco de chivo.
* 36% de cocineros fracasó en chugchucaras
Desarrolle lo siguiente:
a. Construya un diagrama de
Venn con los datos.
b. Proporcione una expresión
con operaciones de conjuntos para indicar el porcentaje de cocineros que tuvo
éxito.
c. ¿Qué porcentaje de los
cocineros no tuvo éxito en las tres comidas?
d. ¿Cuántos cocineros tuvieron
éxito en las tres comidas si concursaron 200 personas?
6. En una encuesta a 40
estudiantes del nivel cero, 27 son hombres y 20 son bachilleres técnicos; de
estos últimos 8 son bachilleres (técnicos) en comercio, 6 de las mujeres no son
bachilleres técnicos y 22 de los hombres no son bachilleres en comercio.
a.
Determine cuántas mujeres son bachilleres técnicos pero no en comercio.
b.
Halle además cuántos hombres no son bachilleres técnicos.
7. En cierta comunidad, 70% de
las personas fuman, 40% tienen cáncer pulmonar, y 25% fuma y tiene cáncer
pulmonar. Si F y C denotan los conjuntos de fumar y tener cáncer pulmonar,
determine la cantidad de personas que:
a. No fume y no tenga cáncer
pulmonar.
b. Fume pero no tenga cáncer
pulmonar.
c. No fume ni tenga cáncer
pulmonar.
d. Fume o no tenga cáncer
pulmonar.
e. No fume o no tenga cáncer
pulmonar.
f. No fume o tenga cáncer
pulmonar.
8.
De 335 maestros de una institución educativa se tienen los siguientes
datos: 215 son de tiempo completo, 190 hablan inglés, 225 tienen por lo menos
maestría, 70 son de tiempo completo y hablan inglés, 110 hablan el inglés y
tienen por lo menos una maestría, 145 son de tiempo completo y tienen por lo
menos maestría; y todos tienen al menos una de las características.
Halle el número de maestros
que tengan las tres características anteriores.
9.
En una encuesta aplicada a 100 estudiantes se determinó que 50 practican
básquet, 40 practican fútbol, 45 practican atletismo, 20 practican básquet y
fútbol, 20 básquet y atletismo, 15 fútbol y atletismo, y 5 practican los tres
deportes. Entonces es falso que:
a.
15 no practican estos tres deportes.
b.
15 sólo practican básquet.
c.
75 practican básquet o atletismo.
d.
35 practican fútbol o atletismo pero no básquet.
e.
10 practican básquet y fútbol pero no atletismo.
10.
En una encuesta a 100 inversionistas, se observa lo siguiente:
v
5 sólo poseen acciones.
v
15 poseen solamente valores.
v
70 son propietarios de bonos.
v
13 poseen acciones y valores.
v
23 tienen valores y bonos.
v
10 son propietarios sólo de acciones y bonos.
Cada uno de los 100 invierte por lo menos en
algo. Halle el número de inversionistas que:
a.
Tienen valores, bonos y acciones.
b.
Tienen sólo una de ellas.
c.
Tienen al menos una.
d.
Tienen, cuanto mucho, dos de ellas.
11.
Para los votantes de una cierta comunidad de 300 personas, se tiene que:
v
110 son mayores de 20 años.
v
120 son mujeres y 50 mujeres son mayores de 20 años.
Determine el número de votantes que:
a.
Son hombres.
b.
Son hombres mayores de 20 años.
c.
Son mujeres con 20 o menos años.
d.
Son hombres con 20 o menos años.
e.
Tienen 20 o menos años.
12.
En una encuesta realizada por Pacifictel a un grupo de 26 abonados que
han realizado al menos una llamada, sea ésta local, nacional o internacional,
se obtuvo la siguiente información:
v
23 abonados han realizado llamadas nacionales o internacionales.
v
5 abonados han hecho llamadas locales y nacionales.
v
12 abonados han hecho llamadas internacionales pero no locales.
v
El número de personas que han hecho sólo llamadas nacionales es igual al
doble de personas que han hecho sólo llamadas internacionales y locales pero no
nacionales.
Entonces, el número de abonados que han hecho
llamadas locales es:
a) 10
b) 4 c) 6 d)
2 e) 14
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